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４ 各節点に関する代数方程式

式(2-12)〜(2-14)を式(2-5)に代入して積分すると節点に関する代数方程式が得られる。

まず式(2-5)の第１項について考えると、式(2-14)より と において

であるため次式を得る。

次に上式に式(2-14)を代入して次式を得る。

したがって式(2-13)を代入して次式を得る。

結局、上式を積分して次式を得る。

これをマトリックス表示すると次式が得られる。

　　　        　　　　      (2-15)

同様に次式が得られる。

     　　　　      (2-16)

また式(2-5)の移流項については以下の式を得る。ただしここでは簡単のために時間方向の

添字は省略している。　まず式(2-14)の の定義範囲から次式を得る。

ここで流速 は各要素内で一定としているため、積分の外に出ている。

次に式(2-14)の定義から次式が得られる。　ただし、である。

したがって式(2-13)から次式を得る。

結局、この積分を実行して次式を得る。

      　 　　   (2-17)

また式(2-5)の拡散項については次式の部分積分を考慮する。

        　　　　　    (2-18)

すなわち、式(2-14)より次式を得る。

よって、式(2-18)より次式を得る。

ここで式(2-14)より、、 及び なので

上式右辺の第１項と第３項は相殺され、結局、次式が得られる。

また式(2-14)と(2-12)から次式を得る。

すなわち、式(2-13)を代入して積分すると次式が得られる。

         　      (2-19)

式(2-15)〜(2-17)と(2-19)を式(2-5)に代入し、両辺に をかけて無次元係数の

(ク−ラン数) と （拡散数）を導入して整理すると次のような、

節点 に関する代数方程式が得られる。

(2-20)

他の内部節点についても同様な代数方程式が得られ、これらの代数方程式を連立させ、

境界条件を考慮して解くと各節点値が求められる。