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4 各節点に関する代数方程式
式(2-12)〜(2-14)を式(2-5)に代入して積分すると節点に関する代数方程式が得られる。
まず式(2-5)の第1項について考えると、式(2-14)より と において
であるため次式を得る。
次に上式に式(2-14)を代入して次式を得る。
したがって式(2-13)を代入して次式を得る。
結局、上式を積分して次式を得る。
これをマトリックス表示すると次式が得られる。
(2-15)
同様に次式が得られる。
(2-16)
また式(2-5)の移流項については以下の式を得る。ただしここでは簡単のために時間方向の
添字は省略している。 まず式(2-14)の の定義範囲から次式を得る。
ここで流速 は各要素内で一定としているため、積分の外に出ている。
次に式(2-14)の定義から次式が得られる。 ただし、である。
したがって式(2-13)から次式を得る。
結局、この積分を実行して次式を得る。
(2-17)
また式(2-5)の拡散項については次式の部分積分を考慮する。
(2-18)
すなわち、式(2-14)より次式を得る。
よって、式(2-18)より次式を得る。
ここで式(2-14)より、、 及び なので
上式右辺の第1項と第3項は相殺され、結局、次式が得られる。
また式(2-14)と(2-12)から次式を得る。
すなわち、式(2-13)を代入して積分すると次式が得られる。
(2-19)
式(2-15)〜(2-17)と(2-19)を式(2-5)に代入し、両辺に をかけて無次元係数の
(ク−ラン数) と (拡散数)を導入して整理すると次のような、
節点 に関する代数方程式が得られる。
(2-20) |
他の内部節点についても同様な代数方程式が得られ、これらの代数方程式を連立させ、
境界条件を考慮して解くと各節点値が求められる。