戻る

３ 形状関数と重み関数

いま、図2-1のように一次元座標 において節点１と節点２を考え、

この２節点に囲まれた領域（“一次元　要素”とよぶ）における任意の位置（印）

での未知関数 を次式により定義する．

  　　　　　   (2-6)

なお以下では簡単のために式(2-6)の代りに次式のように表記する．

          　　　　　　  (2-7)


ｈ

　　　 １    　 　　　　  ２        　 

 Fig. 2-1 One-dimensional coordinator

ここで、、 はこの要素での補間関数であり、下記の理由から形状関数

ともよばれる。いま最も簡単な形状関数として次式のような の１次関数を考える。

      　　　　　       (2-8)

ここで と は決定すべき４個の未知係数である。　一方、図2-1での

任意点（点）を節点１に移動させると、式(2-6)から次の関係式を得る。

、   　　　　　　          (2-9)

同様に 点を節点２に移動させて考えると式(2-6)から次式を得る。

、     　　　　　 　 　    (2-10)

すなわち式(2-9)と(2-10)の４個の関係式が得られるため、これを解いて

結局４個の未知係数が以下のように求まる。

、、、　（ただし である。）

すなわち式(2-8)より次式を得る。

 、　   　　　　　　　       (2-11)

図2-2に各関数の による変化を示すが、これより、 は各々、右下がりと

右上がりの“特別な形状”に対応することから“形状関数”ともよばれる。

図2-3は、より一般的に節点、、 の３点を考えた場合であるが、

ここで 節点 と、及び　 と で囲まれた要素領域を各々 と とで表す。

ただし各節点間の長さは簡単のために一定 としている。

,

 　                 　     　   　         　       　　 

  　　 　　　　     　　 　　Fig. 2-2 Shape functions

　 　　 　
　　(k-1)     (k)　

Fig. 2-3 Shape functions in elements

したがって各要素での と各形状関数は次式のように表される。

　 　　　　　　　　    　　　    (2-12)

ただし以下の関係式が成り立つ。

 、 、   、　       (2-13)

ここでガレルキン法の場合には重み関数 として形状関数と

同じ関数をとるため、結局、次式を得る。
　　　　　　　      　　　　  　　   (2-14)

すなわち重み関数 は各要素ごとでの線形関数で、節点 では１、

他の節点ではゼロの値をとる。またその全領域にわたる積分値は１である。