二次元自然対流問題の解析

本章ではMSR解法の二次元及び三次元熱流動問題解析への
適用例について述べる。数値計算例としてはキャビティ内の自然対流問題を
取り上げ，レーリー数Ra＝10⁸までの解析結果について他の研究例との
比較を含めて検討した。

１ 基礎式

基礎式として，連続の式，ブジネスク (Boussinesq) 近似による
浮力項を考慮したナビエ･スト−クス方程式およびエネルギー方程式の
無次元形を用いる^[13]。

                  (4.1)

  (4.2)

            　  　    (4.3)

ただし，　：速度ベクトル　：ｙ方向（重力方向）の単位ベクトル　θ：温度　

：圧力／密度　　Ra：レーリー数　　Pr：プラントル数　：時間　であり，ここで
レイノルズ数での代表速度を温度伝導率と代表長さとの比^[9]とするととなる。

２ MSR解法による定式化

本節では二次元粘性流動問題の支配方程式（式(2.1),(2.2)）との
相違点のみについて述べる。浮力項を考慮すると式(2.10)は次式のようになる。

      (4.4)

なお式(4.2)を変形ガレルキンにより流速の予測値を求める際には
浮力項も陽的に扱う。また式(2.15)を導出する際には浮力項も省略し，
式(4.3)は式(2.5)と同様に変形ガレルキン法により定式化する。
ただし流速の予測値と温度を求める際には支配方程式を
移流拡散方程式とみなし，拡散項に補正係数を導入した。

３ 二次元自然対流問題の数値計算例

キャビティ内での自然対流問題の解析は数値計算スキームの検証に
用いられる典型的な問題であるが^[14]，以下に二次元問題の計算結果について述べる。

３．１ 計算条件

図4.1のような閉じられたキャビティ内に流体が満たされ，左側（AD線）に
温度θ=１を，右側（BC線）に温度θ=0を与え，上下（AB線とCD線）に断熱（）境界条件を
課した際の流動問題を考える。

左側の流体は加熱されるとともに浮力により上昇し，右側の流体は
冷却されて密度の増加により下降し，その結果，反時計回りの自然対流現象が生ずる。
流体を空気（Pr=0.71）とし，流速の境界条件としてu=v=w=0を，圧力の境界条件として
を考える。
　
また初期条件としてu=v=w=0，p=0，θ=0 とおく。

Fig. 4.1  Computational domain

また図4.2に計算領域を不等長四辺形メッシュに分割した一例を示す。

Fig. 4.2  Non-uniform meshes ()

解析結果の収束性等を検討するために　　を
満足する速度に対して次式の相対速度変化率を定義する。

  　　　  (4.5)

また熱の通過量を調べるために次式の平均ヌッセルト数を用いる。

　　　　               (4.6)

３．２ 計算結果