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三次元流れ問題の解析（１）

変形ガレルキン法とパタンカらのＳＩＭＰＬＥ（４）法との組み合わせ解法である
ＭＳＲ解法により三次元非圧縮性粘性流れの解析を行った。数値計算例としては
三次元キャビティ内の粘性流れ問題を取り上げてレイノルズ数Re＝3,200までの
計算を行い，他の研究例との比較により_、その有効性について検討した。

１ 基礎式

基礎式として，三次元非圧縮性粘性流動問題の
連続の式とナビエ・ストークス方程式の無次元形を用いる。

　        　　              (3.1)

           (3.2)

ただし，  ：ｘ, ｙ, ｚ方向の速度ベクトル,

 ：圧力/密度, ：時間,  ：レイノルズ数 である。

２ MSR解法による定式化^[7]

MSR解法による定式化は基本的に2.3節の二次元問題の場合と
同様の考え方で行われる。 図3.1の不等長六面体一次要素の場合には
補正係数は文献[1]6.2節と同様に次式で表される。

　　　 　      (3.3)

ただし，クーラン数　 ，，，　
フーリエ数　，，，　
h_x，h_y，h_z：x，y，z方向のメッシュ幅_，
α，β，γ：x，y，z方向のメッシュ幅の変化率 である。

Fig. 3.1 Non-uniform hexahedral linear elements

３ 数値計算例

３．１ 計算条件

キャビティ流れの解析は数値計算スキームの有効性を検証するための
典型的な問題である。MSR解法によりレイノルズ数 400，1000，2000及び3200
の場合について静止状態からの計算を行った[7,8]。

本論文ではレイノルズ数2000と3200での計算結果について述べる。
計算領域としては不等長六面体１次要素の40x40x40個要素に分割した。
図３．２に三次元キャビティの計算領域を，図3.3にメッシュ分割図を示す。
なお不等長メッシュではx，y，z方向を次式により分割している^[9]。

　　　  (x≦0.5)　　 　(x＞0.5)　　　　　(3.4)

ただし，，　(：:一辺の分割数) である。

　　　　　　　　　　　　　　　Fig. 3.2 Computational domain

他の計算条件を以下に示す。

(1) 初期条件　キャビティ内で u=ｖ=ｗ=0，ｐ=0

　　　　(2) 境界条件　�@ 流速：ＤＨＧＣ面で ｕ=１，ｖ=ｗ=0；その他の面で
　　　　　　　　　　　　　　　 ｕ=ｖ=ｗ=0　　�A 圧力：全ての面で

　　　(3) 定常判定条件：　 に対して次式を適用した。

  ^（％）(3.5)

ただし、 は法線方向の微分を示す。

３．２ レイノルズ数2000での計算結果

表3.1に各計算パラメータを示す．ここでΔtの値は定常解が得られた
タイム・ステップ値であり，カッコ内の数値は計算結果が発散した際の値である。
また，bmax（=，：最小の要素幅）は最大クーラン数である。

図3.4にRe=2,000での流速ベクトル図と圧力分布図を示す。
（ ただし，z-y 断面とz-x断面での速度ベクトルはx-y断面での10倍の
スケールで表現している。）　これよりz=0.5面での流れの対称性が
確認できる。図3.5に相対速度変化率δの変化を示す。　
これより，δは小さな振動を伴うものの，計算を進めるにつれてその値は
小さくなり，最終的には定常解が得られているものと考えられる。
　
^{_{なお図３．６は流速ベクトルの三次元図である。また図３．７に
ｘ−ｙ断面（ｚ＝０．５）に}}おける渦度中心の位置を文献（１０）の値とともに示す。
Re=2000の場合には比較的良く一致しているが，他の場合には
若干のずれが観察できる。

Table 3.1 Computational parameters (Re=2000)