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2.2 重み付き残差法とガレルキン法

 　有限要素法では重み付き残差法の考え方により解くべき
微分方程式を代数方程式に変換し、各節点での未知関数値を求める。
すなわち節点での未知関数値に関する代数方程式を得るために
元の微分方程式の各項に重み関数をかけて全計算領域について
積分する。したがって式(2-1)の方程式では次式を得る。

　 　　　　　　　      　　　　   (2-2)


まず式(2-2)の時間微分項を離散化するために以下の関係式を考える。


時刻での式(2-2)の左辺}＋時刻での式(2-2)の左辺}　 　（2-3)


ここで、 はタイム・スキーム・パラメータとよばれる。


次に式(2-3)において式(2-4)の差分関係式を代入すると、
時間微分項を消去した式(2-5)を得る。

　　　　　　　　　　 　　　 　   (2-4)

     (2-5)



ここで、は時間方向の指標、 はタイム・ステップであり、は時刻目でのの値を示す。

また、 の値が０の場合は陽的スキ−ム、0.5の場合はクランク・ニコルソン・スキ−ム、

１の場合は完全陰的スキ−ムに対応する。