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差分法による二次元粘性流体の解析

(原始変数の場合：u-v-p)


１ アルゴリズムの説明


１．１　基礎式とその変形

　次式のような連続の式とナビエ・ストークス
方程式の無次元形を考える。

　式(1)より次式を得る。

　

よって式(2)_１より次式を得る。
　　

同様に式(2)_２は次式のように変形できる。

そして式(2)_３をxで偏微分し，さらに式(2)_４をyで偏微分して

整理すると次式のような圧力に関するポアソン方程式を得る。

上式の右辺第一項は連続の式に関する時間変化項である。
この項は本来、連続の式から0となるべきであるが、数値計算では
必然的に誤差が含まれるため正確にはゼロとはならない。
そのため補正項として残すこととする。

＝＝＞（ノウハウの一つ）

１．２ 差分法による定式化（速度関係）

　まず下図のようなメッシュ分割を行い 添字i, j を
定義する。ここで速度u、ｖは各メッシュの縦線および
　横線上に、圧力ｐは各メッシュの中心に定義する。

＝＝＞（ノウハウの一つ）




定義点以外の場所での物理量が必要となる場合は、

適当な平均値により置き換える。たとえば は次式により定義する。

　　　　

また各微分項の差分式は次式で表す。

同様に式(3)の各項は各々差分式と

平均量としての定義式により評価する。

たとえば については、まずｘによる偏微分項を

差分式により表現すると式（５）から次式を得る。


　
　同様にしてyによる偏微分項を差分化すると、

結局、式（7） の右辺第一項は次の差分式により表される。

　同様に右辺第二項は次のように差分化される。

　よって式（８）および（９）から次の差分式を得る。

なお上式右辺での平均的な値の評価は
たとえば次式のように行う。

図２にメッシュの状況を示す。


図２　差分式による評価