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3.2 拡散方程式の導入

　静止流体内の微小体積内にその外側から多量の物質が
流入し、内部からはあまり流出しない状態が続くと、流入量が
流出量より多いために微小体積内における物質濃度はしだいに
上昇することになりますが、拡散方程式とは単位時間、単位体積内に
おける拡散物質の蓄積量と濃度変化の関係を表現するものです。

いま図５のように静止流体内に一辺の長さがΔｘである
立方体を考え、そのうちのｘ軸に垂直な相対する２面を
通じてのみ拡散による物質移動が行われ他の４面は
物流に対して絶縁されているとします。

図５　拡散方程式の導入


　断面１における濃度勾配を、拡散係数をＫ１と
するとき、面積がである断面１を経て、Δｔ時間に
立方体に流入する物質量は、式（２）を用いて

　・・・（３）

　と表すことが出来ます。　同様に考えますと、断面２を
経てΔｔ時間に立方体から流出していく物質量は

　　　　　　　　　　・・・（４）

　となります。したがってΔｔの間に立方体内に蓄積
される量は（式（３）−式（４））の以下の式であり、

　　　

　Δｔの間に立方体内の濃度変化がΔC生じたとすれば、
その変化に要する物質量に等しいはずとなりますので
次式が成り立ちます。

　　　

　いま両辺をで割ると

　　　・・・（５）

　となり、右辺はx方向における変化率ですから
Δｔ→0、Δｘ→0とすると、式（５）は次式のように
なります。

　　　・・・（６）　

　左辺はある点における濃度の時間的な変化率であり、
右辺はある時刻における空間的な濃度の関連を示す
ものです。ここですべての点において濃度が時間とともに変化
しなくなったとき、定常状態とよばれ、濃度は位置のみの関数
となります。またKが位置に関係なく一定である場合には
式（６）は次式のようになります。

　　　・・・（７）