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四次差分法(不等長)による二次元粘性流れの解析

１ アルゴリズムの説明

１．１ 基礎式

二次元粘性流れの支配方程式として、連続の式と

ナビエ・ストークス(Navier-Stokes)方程式の無次元形を用いる。

                     　　　　　            (1.1)

                   (1.2)

ただし、u ：流速ベクトル，p ：圧力，Re：レイノルズ数，t：時間　である。

１．２ 本解法について

（不等長メッシュの場合）

（１） 擬似速度の導出

式(1.2)の非定常項をと考えると、同式は式(1.3)，(1.4)の二式に分割することができる。

                 (1.3)

  　                                     (1.4)

式(1.3)の移流項と拡散項を二次中心差分により離散化すると次式を得る。

　     (1.5)

ここで、

hi ，hj  ：x，y方向メッシュ幅，　　i，j    ：x，y方向座標の指標である。

図１．１に節点およびメッシュ幅のとり方を示す。

図１．１　不等長メッシュに場合

（２） 圧力の予測値の導出

式(1.4)について両辺の発散を取り式(1.1)を考慮すると、圧力の予測値に関する

ポアソン方程式、式(1.6)が得られる。この式を二次中心差分により離散化すると式(1.7)が得られ、

これよりを求めることができる。


                        　　　  　　(1.6)

　　 　　(1.7)

（３） 速度の予測値の導出

式(1.2)をＦＷＡ(C)法により定式化すると、速度の予測値が得られる。

    (1.8)

　　　     (1.9)

ただし、

ここで

となる。

ここで W:重みパラメ−タ　である。

Ｗ = 0，0.5，1としたときFWA方式は、それぞれ上流差分、FZA法、中心差分に

相当する。　いま数値解の精度向上のために式(1.2)の粘性項と移流項にそれぞれ補正係数

f および g をかけるがこれらは誤差解析手法により次式の形となる。

　　　　　　                　　　    (1.10)

　　　　　　　              　　    　           (1.11)　

ここで、

　　　　　　　　　               (1.12)

bx，by：クーラン数，　rx，ry：フーリエ数　である。

（４） 圧力修正量の導出

式(1.2)の左辺第一項を差分で考えると次式を得る。

　　 　       　　(1.13)

　        (1.14)

流速と圧力の予測値に関するナビエ・ストークス方程式と、次の時刻での
ナビエ・ストークス方程式の差をとってとおくと、式（1.15）が得られる。

                               (1.15)

                              (1.16)

式(1.16)について、両辺の発散を取り連続の式(1.1)を考慮すると、圧力修正量δpに関する

ポアソン方程式(1.17)が得られる。この式を二次中心差分により離散化すると式(1.18)が

得られ、これによりδpを求めることができる。

                      (1.17)

       (1.18)

（５） 次の時刻での流速と圧力の導出

次式によりを求める。

　　　　　　　　　　　　　(1.19)

式(1.16)を離散化すると以下の式となり、を求めることができる。

              　     (1.20)

                     (1.21)

２ 数値計算例

２．１ 計算条件

（キャビティ流れ）

図２．１  計算領域

● 初期条件:   内部：u=v=0    全ての点：p=0
● 境界条件:  上面 ：u=‐1,v=0    他の面：u=v=0  　圧力：=0

次式の相対速度変化率がδ＜0.1（％）となった状態を定常状態と判断して計算を終了させた。

×100　(％)     　　　      (2.1)

ただし、　である。　　またメッシュ分割図を以下に示す。

                　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２．２　メッシュ分割図(40x40)

２．２ 数値計算結果

メッシュ数40×40での数値計算結果は下記のようになる。レイノルズ数については

Re＝100で計算を行った。なおタイム・ステップは最大クーラン数bxmax　が1を超えない

範囲で定常解を与える最大値として設定した。

表 2.1 数値計算結果（Re＝100）

（�冲の( )内の値では発散）

図２．３　相対速度変化率()の時間変化

                　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (Re=100)メッシュ分割（40×40）の場合

２．３ 計算結果

出力結果を以下に示す。(Δp=0.01)

図２．４ 速度ベクトル，圧力等高線図

次にキャビティ中心線上での速度分布の結果とGhiaらの結果との比較を示す。

　図２．５  他の研究例との比較(Re=100)

以　上