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有限要素法による三次元粘性流れの解析

１　アルゴリズムと定式化

１．１　基礎式
　　　非定常三次元非圧縮性粘性流れの熱移動を考慮した基礎式は、

　　次式のような無次元化したNavier-Stokes方程式と連続の式により表される。

　　　（１）

　　　　（２）

　　　（３）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）

　　ただし、ｐ’：圧力（＝ｐ／ρ）

ｕ：ｘ方向の速度　ｖ：ｙ方向の速度　ｗ：ｚ方向の速度　Re ：レイノルズ数　ｔ：時間　である。

境界条件はｕ，ｖ，ｗについて　　または、　　または、

または　　　または、

１．２　有限要素法による定式化 (ＭＳＲ解法)⁽¹⁾

(１) 解法の方針

圧力、速度についてはSIMPLER法^(２)と同様の考え方で解く。

また、式(1)～式(4)を移流拡散方程式とみなし、変形ガレルキン法により

定式化する。この解法をMSR解法とよぶ。

ＭＳＲ解法は、Δｔ時間前の圧力ｐを圧力の予測値ｐ^*とするＭＳ解法と

違ってΔｔ時間前の速度ｕから圧力ｐの予測値ｐ^*を求め、次に

その予測値ｐ^*を用いてＭＳ解法と同様の手順を用いる。

(２) 圧力予測値の導出

式(１)の非定常項を、圧力ｐ'をｐ^m+1の予測値ｐ^*と考え、式(1)を

二段階に分けて考えると次式のように表わされる。

第一段階

(６)

第二段階
　　　　　　　 (７)

式(２)、式(３)も同様に変形すると次式を得る。

　　（８）　　　　　（９）

　　ここで、式(６)と式(７)の和は式(１)になる。式(６)より疑似速度が

求まる。また式(７)をｘ、式(８)をｙ、式(９)をｚで偏微分し、これらを足し加えて

　　連続の式(５)を考慮すると、ｐ^*に関する関するポアソン方程式が得られる。

　 (１０)

上式をガレルキン法により定式化すると次式のような連立方程式が得られる。

　　　　　

これにより圧力の予測値ｐ^*が求まる。

(３) 各運動方程式の変形ガレルキン法による定式化

　
上記で求めた圧力の予測値をとして考えると、

非線形方程式である式(１)は、次式のように表される。

(１１)

u*，v*，w* をΔt 時間前の値により近似すると、上式は線形方程式と考える

ことができる。よって式(１１)は移流拡散方程式と見なすことができ、この式を

変形ガレルキン法により定式化することによりu，v，w が得られる。

すなわち次式を得る。

(１２)

つぎに時間項を変形する。いまφをタイム・スキーム・パラメータとし、

(１-φ)×式(12)_ｔ-Δｔ＋φ×式(12)_ｔをまとめて考え、

同時に式(13)を利用して変形すると式(14)を得る。

　　（１３）

　　　　　　　　　（１４）　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　
　　　　　

　ただし， Δｔ：タイム・ステップ、　　ｎ：時間方向の添字、　Ｖe　：一要素の領域、

Ｍ：総要素数、　　　Ｎ　：形状関数、　　φ ：タイム・スキーム・パラメータ　である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（４）δｐの導出について

   　予測値から求められた流速値　は近似値であるため、これらを　とする。

　　　　　　　 （１５）

　　　　    （１６）

したがって両式の差をとって　　とおくことにより次式が得られる。

ただし各省略項（移流項，粘性項，浮力項）は補正量に関係したものなので無視している。

　　　　　　　 （１７）

同様に下記の式が得られる。
　　　
　　　　　　 （１８）　　　　　（１９）　　　　　

　式（１７）をｘ、式（1８）をｙ、式（1９）をｚにより偏微分し、これらを足し加えて

　　を考慮すると、次式のようなに関するポアソン方程式が得られる。

（２０）

上式をガレルキン法により定式化すると次式のような連立方程式が得られる。

　 （２１）

（５）各流速及び圧力の導出

式(２１)を解いてが求まり、結局次式よりを得ることができる。

（６）形状関数と移流項の評価方法

　　ｕ，ｖ，ｗ及びｐいずれも形状関数として六面体一次要素を考える。

移流項の評価方法としては、次式のように速度は要素ごとにｃの

一階微分項は各節点ごとに振り分けて評価する。
　　　　 （２２）

以　上