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有限要素法による三次元移流拡散方程式の解析

１ アルゴリズムの説明

１．１  基礎式

本システムは，次の三次元移流拡散方程式を対象としている．

      (1.1)

ただし，C：濃度，u，v，w：x，y，z方向の流速，Kx，Ky，Kz：
x，y，z方向の拡散係数である．

１．２　変形ガレルキン法による定式化

式(1.2)の時間積分スキームを導入し、式(1.1)の左辺の
移流項を右辺に移して外力項として扱い、境界条件を考慮して定式化
すると、マトリックス形で式(1.3)のように表すことができる。

                       (1.２)

         (1.３)

ただし，

θ：タイム・スキーム・パラメータ，Ve：一要素領域，

Ni：形状関数，M：総要素数　である．

１．３　移流拡散方程式の補正

三次元移流拡散方程式(1.1)は図1.1の三次元要素の場合、

式(1.5)のような補正係数 f および g により次式のように補正される。

　　  (1.４)

図1.1　三次元要素の形状

，　　ｇ＝１        (1.５)

ここで、

　である。

補正の結果，拡散係数 Kx，Ky，Kz は人工拡散係数
fKx，fKy，fKzとなるが、たとえば Kx＝Ky＝Kz＝K
および hx＝hy＝hz＝h という条件下での変形ガレルキン法(補正)
の場合には人工粘性係数は次式のようになる．

               (1.６)

２ 数値計算例

２．１ 三次元移流拡散問題の数値計算例

時刻 t=0で，ｘ-y-z 直交座標系の原点を中心とした(2Dx)×(2Dy)×(2Dz)の

直方体内に一定濃度CBを瞬間的に与え，無限遠での濃度を零(t≧0)とした場合の

三次元移流拡散問題は解析的に解く（省略）ことができる（図２．１）。　ただし

このように階段状に変化する初期濃度分布を精度よく取り扱うために，まず

微小時間δtだけ移流拡散させた後の濃度分布を解析解より計算し，それを

初期濃度分布に用いて数値計算を行った。初期条件と境界条件は次式で表される．

ただし，
である．

また計算条件は、θ＝１ および　10×5×5で、

　である．

図2.1　計算対象

(10×5×5メッシュ：396節点250要素)

２．２　出力結果

（10×5×5／DT=0.1／LOOP=20）

　　変形ガレルキン法(補正あり)   　　　変形ガレルキン法(補正なし)

（実線：解析解、折れ線：数値解）

参考文献

（１） 松田ほか３名，三次元移流拡散方程式の有限要素法による新しい
定式化(誤差解析手法によるアプローチ)，日本機械学会論文集
(Ｂ編)，59-561，(1993),1580.

以　上