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３ 数値計算例とまとめ

３．１ 数値計算例

( 一次元定常熱伝導問題 )

いま式（２７）のような定常一次元熱伝導方程式を式（２８）の境界条件で解く問題を考えます。

　　 　 　 　　（２７）

θ_１＝０　，　θ_５＝０     　        （２８）

ここで簡単のために一次元領域を図５のように

４個の等長の要素に分割した場合を考えます。


(1) 　　　　　(2) 　　　　(3) 　　　(4)

1 　　　　　2　　　　　 3 　　　　　4　　　　　 5

図５  一次元熱伝導問題の数値計算例

いま熱発生量 Ｑ（ｘ）＝Ｑ（一定）とすると、式（２６）の重み付き残差

方程式から次式を得ます。（ただし式（２６）右辺の第１項と第２項は除いて考えます。）

　　　（２９）

いまΘｓ は節点ｓでの温度を示しています。

したがってＤが一定の場合、図５の節点２, ３, ４において

次の残差方程式を得ることができます。

　　　　 （３０）


　ここで式（２８）よりΘ_１＝０，Θ₅＝０ですので、式（３０）を解いて

未知変数Θ_２，Θ_３，Θ_４を求めることができます。

ちなみに式（３０）をマトリックス表現で示しますと次式を得ます。

　　　　　（３１）


これらをまとめて次式のようにも表現できます。

｛Ｒ｝＝［Ｋ］｛Θ｝−｛Ｆ｝＝｛０｝

したがってつぎの解を得ることができます。

　　　　　　　　　　　 （３２）


なお式（３０）のようなＲ_２〜Ｒ_４を要素方程式、式（３１）の形を

全体方程式とよぶこともあります。