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２ ガレルキン法による定式化



２．１　重み関数の考え方

　式（３）の重み関数Ｗ（ｘ）を、どう考えるかによって、いくつかの定式化が

考えられます。最もよく用いられ定評のある手法としてＷ（ｘ）をＮi（ｘ）と同じものにおく考え方で、

この方法をガレルキン法とよびます。 以下の説明では、ガレルキン法による

定式化について紹介します。

（１） 形状関数(補間関数)

　いま、最も簡単な例として、Ｎi（ｘ）がｘについて１次の関数である場合、

すなわち、一次元線形要素の場合を考えます。この場合、式（８）より数値解Θは、

各節点値ΘiとΘjの線形補間の値となり、図２のように接点（ｉ）と（ｊ）との間で直接的に変化

することになります。したがって、Θは次式のように表されます。

図２ 一次元線形要素

Θ＝ａ１＋ａ２ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　 （９）

ｘ＝ＸiでΘ＝Θi，　ｘ＝ＸjでΘ＝Θj     　    （１０）

したがって式（９）中の２個の未知定数ａ１とａ２を２個の関係式(式(１０))から求めると次式を得ます。

       　　　　　　        （１１）

したがって式（８）から個々の形状関数は、次式で表すことができます。

        　　    　　　   （１２）

すなわちこれらの形状関数は図３のように変化することがわかります。

図３　形状関数

（２） 重み関数

　いま、式（１）を図４のような（ｐ−１）個の要素に分割された一次元領域で解くことを

考えますと、ガレルキン法の場合には各節点での重み関数は各節点に関連した形状（補間）関数

から成り立っているため図４ (ａ)〜(ｃ)で表されます。

図４　重み関数

ここでＮｓ（ｅ）を要素（ｅ）における節点ｓでの形状関数としますと、次の関係式が成り立ちます。

            Ｗ１（ｘ）＝Ｎ１（１）　，　Ｗｐ（ｘ）＝Ｎｐ（ｐ−１）      （１３）