・・・（１)

θ（０）＝θ０　およびθ（Ｈ）＝θＨ　・・（２）

　ここでＱは熱の発生項を表しています。　いま式(１)を直接解く
代わりに、重み付き残差法の考え方により次式の重み付き
残差方程式を解くことを考えます。

・・・(３）

　なおここで”マイナス”の符号がついているのは、後述での
表現より便利な形にするためです。ここで重み付き残差法に
おける「残差」とは、いまθの数値解θ*をに代入した際の
右辺の値---すなわち「計算誤差」---のことをさします。

いっぽう「重み付き〜」という言葉は次のように
解釈することができます。

まず「平均値」という考え方は次式で表されます。

・・・（４）

　すなわちn個のθの値についての平均値です。
それでは次式はどうでしょうか。

・・・(５)

　ここでWiは重みパラメータであり、 は重み付き平均と
よばれます。そして、たとえばWi=1(i=1〜n)であるならば
式(５)は式(４)と一致します。

次に「残差」という言葉を考えましょう。もしθが
真の解であるならば式(１) の右辺---すなわち「残差」---は
ゼロとなります。しかし数値計算の結果得られる数値解θ*を
式(１)の左辺に代入して得られる右辺の値はゼロには
ならず「残差」として定義されます。

つぎにこの残差(εi)を何らかの重みパラメータWiを
用いてその重み付き平均の残差を考え、その値をゼロとした
次式を考えましょう。

・・・(６)

　これは式(５)より計算領域内での重み付き平均での計算誤差
（残差）をゼロとしていることに相当しますが、結局式(６)より、
つぎの関係式を得ます。

・・・(７)

　そうしますと、式(３) は式(７)の離散化表現であるΣを
連続量と しての全計算領域（x=0〜H）での積分量として表現
したものと解釈することができ、この意 味で式(３)を重み付き
残差方程式とよんでいます。

すなわち式(３)は解くべき方程式(式(１))を直接解くのでは
なく、その計算誤差を重み付き平均（式（５））の意味でゼロ
となるように変形していることになります。(なお式(３)での
マイナスは式変形の都合上のものです。）　

ここで式(３)のW(x)は重み関数とよばれます。いっぽう
θは図１の一次元要素において形状関数Ni(x)を用いて次の
ように表されるものと考えます。

　ただし、θi,θjは図１での節点(i),(j)での値です。