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差分法による二次元粘性流れの解析

１　アルゴリズムの説明

１．１　基礎式


　基礎式は次式の連続の式とナビエ・ストークス方程式の無次元形である。





１．２　基礎式の変形

式(1)より次式を得る。
　
　よって式(2)_１より次式を得る。
　 
　
　同様に式(2)_２は次式のように変形できる。

　そして、式(2)_３をxで偏微分し，さらに式(2)_４を

yで偏微分して整理すると、次式の圧力に関する

ポアソン方程式を得る。

　ここで、上式の右辺第一項は連続の式に関する時間変化項である。

この項は本来、連続の式から0なるべきであるが、数値計算

では必然的に誤差が含まれることから正確には0とはならない。

そのため補正項として残している。（＝＝＞ポイント）

１．３　差分法による定式化（１）

　まず下図のようなメッシュ分割を行い、添え字i, j を定義する。

ここで、速度u、ｖは各メッシュの縦線及び横線上に、圧力ｐは

各メッシュの中心に定義する。（＝＝＞ポイント）

図１　各変数の設定

定義点以外の場所での物理量が必要となる場合は、

適当な平均値により置き換える。たとえば　 は

次式により定義する。

    

また各微分項の差分式は次式で表す。
    　

　
　また式(3)の各項については、各々差分式と平均量としての定義式により評価する。

たとえば　　については、まずxによる偏微分項を差分式により表現すると、

式（５）から次式を得る。

同様にしてyによる偏微分項を差分化すると、結局、

式（7）の右辺第一項は次の差分式により表される。

同様に右辺第二項は，次のように差分化される。

 　よって、式（8）及び(9)から次の差分式を得る。

　なお上式右辺での平均的な値の評価は、たとえば次式のように行う。

図２にメッシュの状況を示す。

図２　差分式による評価　

１．４　差分法による定式化（２）

　 また式（１）の連続の式における左辺を d_i,j と置くと次式のように表される。

いっぽう、式（３）右辺第１項の時間微分項に関する差分式は次式で表される。

n：時間方向の添字

ここで新しい時刻(n+1)における連続式を満足させるために次式を導入する。（ポイント）

  　　　　　　　 　　    　(14)

　 したがって式（3）のポアソン方程式に関する差分式としては、

式(11)₁や式(13) および 式(10)から次式を得ることができる。 

 

ただし、　 

である。


（ただし、時間方向の添字“n”はすべて省略している。）

また式(2)_３ , (2)_４ , (10) および(11)_１より、速度u, ｖの差分式としては次式を得る。
 










　これらの値は、式(15)から得られる圧力を用いて決定される。

１．５　圧力の解法

圧力に関するポアソン方程式を解く際にはS.O.R.法を用いた。

すなわち式(15)を変形して次式を得る。

（添字”q”: 内部収束のための計算繰り返し回数）

２　数値計算例

　Ｒｅ＝100   Δｔ＝0.02    Ｌｏｏｐ＝50

以 上